3.- CONCEPTOS BÁSICOS


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1 3.- ONEPTOS ÁSIOS

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3 3. ESFUERZOS EN RRS: ONVENIO DE SIGNOS Los esfuerzos en los elementos estructurales lineales deberán seguir el convenio de signos que se esquematiza a continuación. Los esfuerzos que en la figura 3. actúan sobre la rebanada son, en cada uno de los tres casos (flector, cortante y axil) considerados como positivos. Valor del esfuerzo M. Flector ortante xil Figura 3. x 3. DEFORMIÓN Y ENERGÍ DE DEFORMIÓN DE PIEZS PRISMÁTIS Energía de deformación en una rebanada Una rebanada en una barra o pieza prismática constituyente de una estructura es un segmento de la pieza delimitado por dos secciones (normales a la directriz de la pieza) y separadas una distancia ds. La rebanada es el elemento más pequeño que se identifica en la barra o pieza prismática a efectos de plantear las deformaciones a las que dan lugar los esfuerzos resultantes de la aplicación de un estado de cargas sobre la estructura. Las deformaciones en la barra se obtendrán por suma (integración) de las deformaciones de las rebanadas. Se recuerdan, a continuación, las deformaciones producidas en una rebanada por los diferentes tipos de esfuerzos que ésta puede sufrir. a) Esfuerzo axil.- Sea una rebanada sometida a un esfuerzo axil como se muestra en la figura 3.. N N Figura 3. 3

4 La relación entre el alargamiento de la rebanada () y el axil aplicado N viene dada por ( ) N = Ω E ( ) = N EΩ siendo Ω el área de la sección, su espesor y E el módulo de elasticidad del material. Si el esfuerzo axil se aplica incrementando su valor desde 0 hasta N, el trabajo total realizado sobre la rebanada y, por tanto, la energía de deformación que ésta acumula, es: Trabajo = N ( ) = Ω b) Momento flector.- Sea una rebanada sometida a un momento flector como se muestra en la figura 3.3. N E Figura 3.3 La relación entre el giro relativo d entre las dos secciones que delimitan la rebanada y el momento flector aplicado M viene dada por d = M siendo I el momento de inercia de la sección, su espesor y E el módulo de elasticidad del material. 4

5 Si el momento se aplica incrementando su valor desde 0 hasta M, el trabajo total realizado sobre la rebanada y, por tanto, la energía de deformación que ésta acumula, es: Trabajo = Md = M c) Esfuerzo cortante.- Sea una rebanada sometida a un esfuerzo cortante, como se muestra en la figura 3.4. Q dv γ Figura 3.4 La relación entre el desplazamiento relativo dν entre las dos secciones que delimitan la rebanada y el esfuerzo cortante Q aplicado viene dada por dv = Q G siendo el área a cortante de la sección, su espesor y G el módulo de cortadura del material. Si el cortante se aplica incrementando su valor desde 0 hasta Q, el trabajo total realizado sobre la rebanada y, por tanto, la energía de deformación que ésta acumula, es: c Trabajo = Qd = Q G c 5

6 d) Momento torsor.- Sea una rebanada sometida a un momento torsor, tal como se muestra en la figura 3.5. ds Figura 3.5 La relación entre el giro relativo d (según un eje perpendicular a las secciones) entra las dos caras de la rebanada y el momento torsor M T aplicado viene dado por: d = ω = siendo ω el giro relativo por unidad de longitud de rebanada, G el módulo de cortadura del material y K el módulo de torsión. Si el momento se aplica incrementando su valor desde 0 hasta M T, el trabajo total realizado sobre la rebanada, que queda almacenado como energía de deformación en la misma, es: Trabajo = MT GK MT GK Energía de deformación en una pieza prismática La energía de deformación acumulada por una pieza prismática (barra) de extremos las secciones y es la suma (integral) de las energías de deformación acumuladas por todas las rebanadas de la barra comprendidas entre ambas secciones. U = N EΩ + M + Q G c + M T GK Energía de deformación en un conjunto de piezas prismática La energía de deformación acumulada por un conjunto de barras prismáticas (estructura) es la suma de las energías de deformación de todas y cada una de las barras: 6

7 U = N EΩ + M + Q G c + M T GK 3.3 TEOREMS ENERGÉTIOS (REORDTORIO) 3.3. Principio de los trabajos virtuales (Jean ernoulli s. XVIII) Trabajo de las acciones externas. Trabajo de una fuerza.- onsidérese una fuerza F cuyo punto de aplicación es el punto (figura 3.6). Si el punto de aplicación de la fuerza F se desplaza hasta, el trabajo realizado por la fuerza viene dado por la expresión du = F.dr = Fdr cos α F α dr r r + dr O Figura 3.6 Una fuerza puede no realizar trabajo si su línea de acción es ortogonal al desplazamiento del punto sobre el que actúa (cos α = 0) Supóngase ahora que el punto de aplicación de la fuerza F sigue una trayectoria definida por una curva (figura 3.7). 7

8 F α dr Figura 3.7 proximando el movimiento de a lo largo de como una sucesión de incrementos diferenciales rectilíneos, y dado que el trabajo realizado en cada desplazamiento diferencial es du = F.dr = Fdr cos α integrando a lo largo de la línea desde hasta, se obtiene el trabajo total realizado por la fuerza como S U = F.dr = F cosα Trabajo de un par (momento).- Supóngase un momento M actuando sobre un sólido y produciendo en éste un giro d como se indica en la figura 3.8. M r M S o d M r r Figura 3.8 8

9 Desglosado el momento M en un par de fuerzas M/r y M/r, el trabajo realizado resulta M r M r du = d + d = r r Md Supóngase ahora que, bajo la acción de un momento M, el sólido gira (figura 3.9) desde una posición inicial definida por un ángulo hasta una posición final definida por un ángulo. M Figura 3.9 proximando el movimiento del sólido como una sucesión de giros incrementales, el trabajo realizado en cada giro diferencial es: de donde, integrando, se obtiene: du = Md U = Md Principio de los trabajos virtuales para sólidos rígidos.- Sea una partícula sobre la que actúan varias fuerzas que mantienen a la partícula en equilibrio; supóngase que la partícula, inicialmente en la posición, realiza un desplazamiento pequeño (imaginario, virtual) hasta el punto (figura 3.0). 9

10 F F δr F 4 F 3 Figura 3.0 El trabajo del sistema de fuerzas sería: δu = F δr + F δr + F 3 δr + F 4 δr = (F + F + F 3 + F 4 )δr = R.δr Si la partícula está en equilibrio (R = 0) con lo cual δu = 0 Si una partícula está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre ella es cero para cualquier desplazamiento virtual de la partícula onsidérese el sólido deformable de la figura 3. que está en equilibrio bajo la acción de fuerzas por unidad de volumen f r V y fuerzas en el contorno fr Ω. Supóngase que se somete al sólido a un movimiento virtual compatible con la condición de continuidad de la materia y con los vínculos del sólido. Las fuerzas internas (acción y reacción) en el sólido (rígido) realizan trabajos iguales en valor absoluto pero de distinto signo con lo cual el trabajo de estas fuerzas es nulo. z f Ω f V y x Figura 3. 0

11 Si un sólido rígido está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas, el trabajo virtual total de las fuerzas externas que actúan sobre él es cero para cualquier desplazamiento virtual del sólido El principio de los trabajos virtuales es también aplicable a un sistema de sólidos rígidos unidos, si el sistema permanece unido durante el desplazamiento virtual, pues el trabajo de las fuerzas internas es cero Trabajo de las fuerzas internas Principio de los trabajos virtuales para sólidos deformables.- onsidérese el sólido deformable de la figura 3. que está en equilibrio bajo la acción de fuerzas por unidad de volumen f r V y fuerzas en el contorno fr Ω y del que se conocen los tensores de tensión [T ], de deformación [D], así como el campo de desplazamientos u r. z f Ω f V x y Figura.3. [T], [D] du Supóngase que se somete el sólido a unos desplazamientos virtuales δ de sus puntos, compatibles con la condición de continuidad de la materia y con los vínculos del sólido. Estos desplazamientos virtuales dan lugar a un campo de deformaciones (virtual) ε δ. Puede demostrarse la siguiente expresión: r r r r f δ dvol + f dvol V V δ = Ω Ω δ δ δ δ δ δ = ( σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ )dvol x x y y z z xy xy xz xz yz yz V El primer miembro de la igualdad es el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas al sólido (por unidad de volumen y en el contorno) y el segundo miembro representa el trabajo de las fuerzas internas que se acumularía en el sólido caso de que sufriera el campo de desplazamientos virtuales (las componentes de tensión son las que,

12 realmente, existen dentro del sólido, mientras que las componentes de deformación que aparecen se deducen del campo de desplazamientos virtuales). 3.. Teorema de reciprocidad de Maxwell-etti Sea el caso, por ejemplo, de una ménsula sometida a dos estados de carga diferentes: uno, el constituido por una carga F aplicada en la sección y otro, el que corresponde a una carga F aplicada en la sección media de la ménsula, (figura 3.3). F Sistema x Sistema F y L L/ L/ Figura 3.3 El teorema de reciprocidad permite relacionar ambos estados de carga. En un sólido elástico el trabajo realizado por un sistema de cargas F al aplicar otro sistema de cargas G, es idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas G al aplicar el sistema de cargas F En el caso de la figura 3.3, lo anterior conduce a que: F f sistema = F f sistema en donde f sistema es el desplazamiento vertical (flecha) de la sección cuando actúa sobre la ménsula sólo y exclusivamente el sistema de sistema cargas y f la flecha de la sección cuando solamente actúa el sistema de cargas. Este teorema se puede aplicar al caso de una misma estructura sometida a dos estados de carga diferentes (estados y ). Si existieran momentos exteriores actuando sobre la estructura, sustituiríamos fuerzas por momentos y flechas por giros.

13 3..3 Teorema de astigliano ( ) En una estructura sometida a un sistema de cargas (fuerzas y momentos), la derivada de la energía elástica respecto a una de las acciones (fuerzas o momentos) es igual al valor del movimiento (desplazamiento o giro) en la sección de aplicación de la acción y según la dirección de la misma. EJEMPLO.- onsidérese la ménsula de longitud L de la figura 3.4 que tiene una carga P aplicada en el extremo libre P P.L x Figura 3.4 La ley de momentos flectores obedece a la expresión M = P( L x ) Si no se considera la contribución del cortante, la energía elástica almacenada es: U = = M P x= l x= 0 dx ( L = x ) dx = P ( L x ) 3 3 l 0 = P L 6 3 Derivando la expresión de la energía elástica se obtiene: 3 U PL = P 3 3

14 EJEMPLO.-onsidérese la barra biapoyada de la figura 3.5 que tiene un momento M aplicado en un extremo M M X Figura 3.5 La expresión de la energía elástica, en este caso, es: U = M dx M = L x= l ( L x ) dx = x= 0 6 M L Derivando la expresión de la energía elástica se obtiene: T.astigliano : U ML = = M 3 Variante práctica del Teorema de astigliano.- onsidérese el caso de la ménsula de longitud L con una carga P aplicada en su extremo libre que se muestra en la figura 3.6. ómo calcular el desplazamiento δ en punto diferente al de aplicación de la carga? L P δc Figura 3.6 LTERNTIV.- Una primera posibilidad es suponer aplicada también en una carga auxiliar F (figura 3.7), obtener la expresión de la energía elástica u=u(p,f) (que dependerá de P y de F), derivar esta expresión respecto a F y finalmente hacer F=0. Este procedimiento puede resultar largo desde el punto de vista operativo. F P 4

15 Figura 3.7 LTERNTIV.- La energía elástica obedece a la expresión U = N + M + Q + M T EΩ G c GK y su derivada U δ = F = N N F EΩ M + M F Q + Q F G c + M T M F T GK Las derivadas de N, M y M T respecto a F que aparecen en la expresión anterior pueden interpretarse como las variaciones del axil, del flector y del torsor en el estado real al variar la carga aplicada F en una unidad. partir de esta interpretación, la expresion anterior puede escribirse como = 0 I 0 I 0 I O δ N N + M M + Q Q + M M T T EΩ Gc GK siendo: N 0, M 0, Q 0 y M T 0 el axil, el flector, el cortante y el torsor en el estado real, y N I, M I, Q I y M T I el axil, el flector, el cortante y el torsor en un estado ficticio sin carga exterior alguna excepto una carga unidad (fuerza si se quiere calcular desplazamientos o momento si lo que se quiere es giro) en la dirección del movimiento que se desea calcular. EJEMPLO.- onsidérese el caso de la ménsula de longitud L con una carga P aplicada en su extremo libre que se muestra en la figura 3.8, y supongamos que deseamos determinar el giro que experimenta la sección. P L Figura 3.8 La ley de Momentos flectores del estado 0, ó estado real, se muestra en la figura 3.9 5

16 ESTDO 0 PL "real" L P X Figura 3.9 La ley de Momentos flectores del estado, ó estado ficticio o auxiliar se muestra en la figura 3.0 ESTDO L "ficticio "auxiliar Figura 3.0 plicando la expresión anterior, el giro en el nudo se obtiene como: = [ P( L x )] dx = P ( L x ) l 0 PL = En este caso, (M f ) aux es la tasa de variación del M f con respecto a un momento M = aplicado en (M f ) real es P(L-x).4 MOVIMIENTOS EN RRS PRISMÁTIS 3.4. Fórmulas de Navier-resse onsidérese una pieza (barra) prismática alabeada como la de la figura 3. y en ella dos puntos y. 6

17 Z Z X Y Y X Figura 3. Las fórmulas de Navier-resse plantean las expresiones de los movimientos (traslaciones y giros) de un punto de la barra (el ) en función de los movimientos del punto y de los esfuerzos de la barra en el tramo. Primera fórmula.- El movimiento de traslación del punto según el eje x (por ejemplo) son los del punto = U U más la contribución del giro de U = U + más la acumulación de movimientos de las rebanadas entre y U = U + + d u más la acumulación de las contribuciones de los giros de las rebanadas entre y U = U + + d u + d r Segunda fórmula.- El giro del punto es el del punto 7

18 = más la acumulación de los giros de las rebanadas entre y = + d 3.4. Las fórmulas de Navier-resse en barras rectas con cargas en un plano En el caso de que la pieza sea recta con cargas en el plano, las expresiones de los teoremas de Navier-resse pasan a ser las siguientes: v = v = Teoremas de Mohr + M N dx ( x ) ( ) u = u + dx E Q M x + dx x x dx G onsidérese una barra de sección constante que se deforma principalmente bajo la acción de una ley o distribución de momentos flectores (se desprecia el efecto de los esfuerzos cortante y axil) producidos por un cierto estado de cargas como se esquematiza en la figura 3.. arra t t Deformada Ley de momentos flectores d(c.d.g., ) - d(, t ) Figura 3. 8

19 Fijados dos puntos y de la barra, en la figura 3. se identifican los siguientes parámetros y elementos geométricos Rectas tangentes a y en la deformada. Distancia desde a la recta t (tangente a la deformada en ) Área M f del recinto delimitado por la representación gráfica de la distribución de momentos flectores (diagrama de momentos). entro de gravedad c.d.g. del recinto anterior Distancia paralela a la barra desde c.d.g. hasta partir de estos parámetros se enuncian los teoremas de Mohr que son los siguientes. Primer Teorema.- El giro relativo - entre dos secciones de la barra es igual al área del diagrama de momentos flectores entre y dividida por = Μ ( f ) Segundo Teorema.- La distancia d desde un punto de la directriz deformada a la tangente en otro punto es igual al momento estático del área (M f ) de momentos flectores entre y, respecto al eje perpendicular a la barra que pasa por, dividido por d = ( ) d( c.d.g.,e ) Μ f En estas expresiones se consideran despreciables los efectos en la deformación de la barra del esfuerzo cortante y del esfuerzo axil; es decir que se considera que la deformada se produce fundamentalmente por efecto del momento flector, lo que es una hipótesis plausible en el caso de las barras. 9

20 3.4.4 Generalización de los teoremas de Mohr a piezas rectas con puntos angulosos en su directriz. onsidérese una estructura (barra con dos puntos angulosos) como la de la figura 3.3 sometido a un estado de cargas; en la sección de la estructura, se quiere obtener el valor del giro absoluto y del desplazamiento δ en la dirección definida por el eje δ. P δ P E Figura 3.3 Primer teorema generalizado de Mohr.- Este teorema posibilita el cálculo de los giros de secciones de una estructura con puntos angulosos. Supongamos que la ley de momentos flectores de la pieza es la que se representa en la figura 3.4: 3 D E 4 Figura 3.4 plicando el primer teorema de Mohr a cada tramo recto de la estructura se obtienen los giros relativos de los nodos extremos del tramo. Giro relativo entre y. = /() 0

21 Giro relativo entre y. = /() Giro relativo entre y D. D = 3 /() D Giro relativo entre D y E. DE = 4 /() DE En las expresiones anteriores, i representa el área definida por la ley de momentos flectores en el correspondiente tramo. Dado que el sentido del giro viene dado por el de las flechas curvadas, las expresiones anteriores son todas positivas; en cualquier caso, al giro se suele considerar positivo cuando sigue el sentido contrario de las agujas del reloj. Dado que el punto E no gira por ser un empotramiento, resulta: Giro absoluto de = Giro relativo entre y E El giro relativo entre y E (y, por tanto, el giro absoluto de ) se obtiene como suma algebraica de los giros relativos entre y, entre y D y entre D y E. Obsérvese que, los momentos positivos producen giros en el sentido contrario de las agujas del reloj y los negativos en el sentido de las agujas del reloj. sí, la contribución al giro de de la ley de momentos flectores en el tramo DE tiene signo contrario a la contribución de las leyes de momentos flectores en los otros tramos. = /() + /() + 3 /() D - 4 /() DE Para aplicar este proceso de cálculo se han de determinar con exactitud los puntos de la estructura en los que cambia el signo del momento flector.

22 EJEMPLO. En la figura 3.5 se muestra una estructura (semipórtico) de la que se quiere conocer el giro del punto. l P h Figura 3.5 La ley de momentos flectores se representa en la figura 3.6 Pl + Pl + Figura 3.6 plicando el Primer Teorema Generalizado de Mohr, el valor del giro en el punto resulta ( Pl )l = + ( Pl )h = l Pl + h Segundo teorema generalizado de Mohr.- Este teorema posibilita el cálculo de desplazamientos según una dirección determinada en estructuras con puntos angulosos. Se han de distinguir dos casos correspondientes a las situaciones de que el eje δ corte a la directriz de la estructura o que no la corte.

23 aso ) El eje δ no corta a la directriz en ningún otro punto En la figura 3.7 se representa una estructura y la ley de momentos flectores producidos por un cierto sistema de cargas. D E h d δ δ hd α Figura 3.7 onsidérese una rebanada del tramo ; su giro, d, arrastra al tramo que hay desde la rebanada hasta el punto dando lugar a un movimiento de este punto en dirección perpendicular al radio vector rebanada-punto y de valor h.d, siendo h la distancia desde la rebanada hasta. La proyección de este movimiento en dirección del eje δ es: dδ =(h d).cosα En la expresión anterior, h cos α representa la distancia, f, de la rebanada considerada a la línea hasta el eje δ (figura 3.8). α h f=h.cosα α δ Figura 3.8 El giro de la rebanada d depende del valor del momento flector que actúa sobre ella, de forma tal que 3

24 dδ = fd = f M La contribución al movimiento de del tramo completo es, δ M = fd = f = f M En la integral que aparece en el último miembro de la expresión anterior, el factor / se ha supuesto constante circunstancia que es frecuente en los elementos estructurales tipo barra. Por otro lado, esta tiene una clara interpretación geométrica basada en el concepto de centro de gravedad por lo que puede convertirse en el producto de dos factores: el área de la región delimitada por la ley de momentos flectores y la distancia del punto G al eje δ siendo G el punto proyección del centro de gravedad de la región sobre la directriz de la barra (figura 3.9). G f G f G Figura 3.9 4

25 EJEMPLO.- En la estructura cuya geometría y cargas se incluyen en la figura 3.30, se pide calcular los desplazamiento vertical y horizontal del punto. l P h Figura 3.30 La ley de momentos flectores de la estructura se muestra en la figura 3.3 Pl Pl G G U G G V Figura 3.3 El movimiento vertical de se obtiene como movimiento respecto al eje vertical V 5

26 V = L PL ( + h ) = 3 [ * d( G,V ) + * d( G,V )] = PL * 3 L + PL* h* L = El desplazamiento horizontal se obtiene respecto al eje U h PLh U = * d( G,U ) = PLh = Puede observarse en esta última expresión que la ley de momentos flectores del tramo no contribuye al desplazamiento horizontal de este punto. EJEMPLO.- En la estructura cuya geometría y cargas se muestran en la figura 3.3 se pide determinar los desplazamientos horizontal y vertical de los puntos y. onsidérese en los cálculos () =() DE =3() D =6000 t.m D t 4m E t m 4m 4t Figura 3.3 La ley de momentos flectores de la estructura se muestra en la figura 3.33 en la que se identifican seis (6) zonas diferentes. 6

27 8 m.t 8mt 8 m.t 6 5 D m.t 8mt E Ua Va Figura 3.33 En la sección de la figura 3.33 se identifican con vectores U y V el sentido positivo de los movimientos. Una organización posible para los cálculos (regla de buena práctica) es la que se presenta en la siguiente tabla: Nº rea ley M f Distancia de G' a una recta en la dirección de U pasando por Distancia de G' a una recta en la dirección de V pasando por 0.5*8*4=6 (/3)*4=8/ *8*=8 4 /3* 3 0.5*8*=8 4 +/3* 4 0.5*8*=4 4 4+/3* 5 0.5*8*=4 4 5+/3* 6 0.5*8*4=6 (/3)*4=8/3 6 U = (/6000)*(6 * 8/3) + (/000)*(8*4) - (/000)*(8*4) + (/000)*(4*4) + (/000)*(4*4) + (/6000)*(6 * 8/3) = m V = 0 + (/000)*(8 * /3) - (/000)*(8*( + 4/3)) (/000)*(4*(4 + /3)) + (/000)*(4*(5 + /3)) + (/6000)*(6*6) = m U = -(/6000)*(6 * 4/3) = m 7

28 V = - (/000)*(4 * /3) + (/000)*(4*( + /3)) + (/6000)*(6 * ) = m aso ) El eje δ corta a la directriz en otro punto onsidérese la estructura cuya geometría, sistema de apoyos y ley de momentos flectores (producidos por un cierto sistema de cargas) se representa en la figura 3.34 y en la que se quiere conocer la magnitud del desplazamiento del punto en la dirección del eje δ representado en línea de trazos. En la figura se destacan dos rebanadas en la barra D una a cada lado de la intersección de esta barra con el eje δ. Puede observarse que las contribución al desplazamiento de, según el eje δ, del giro de ambas rebanadas tienen sentidos opuestos. δ D Figura 3.34 Las rebanadas con momentos del mismo signo producen desplazamientos opuestos si se encuentran a diferentes lados del eje δ. Es decir que, al definir el signo de la contribución del giro de una rebanada al movimiento de un punto según la dirección definida por un cierto eje δ, intervienen dos circunstancias: Signo del momento en la rebanada Situación de la rebanada a uno u otro lado del eje δ ada una de las dos circunstancias aporta un signo al desplazamiento del punto, debiéndose aplicar la regla de los signos para 8

29 obtener el signo final. Puede verse un ejemplo del proceso de establecimiento de signos en la figura =+ ++=+ - +=- - +=- δ ++=+ +-=- D Figura 3.35 EJEMPLO.- En la estructura de la figura 3.36 obtener el desplazamiento horizontal del punto. onsidérese () = () = 3() E L L P L E Figura 3.36 La ley de momentos flectores de la estructura producida por la carga P actuando en se muestra en la figura En la misma figura se muestran, también, los signos a utilizar al calcular la contribución del momento flector al desplazamiento horizontal de en cada una de las regiones o zonas de la ley de momentos flectores. 9

30 Pl Pl + + = + Pl + + = = + δ E - - = + Pl Figura 3.37 plicando el segundo teorema generalizado de Mohr se obtiene el desplazamiento horizontal del punto : δ = PL L 3 L + PL L L + PL L 3 L + PL L 3 3PL L = Movimientos en barras de directriz curva La figura 3.38 representa una barra curva cuya directriz es una circunferencia y sobre la que actúa una carga P; se muestra también una rebanada de la barra localizada en ésta mediante el ángulo. Sobre la rebanada aparecen los esfuerzos que se indican: M f () = P R cos N() = P cos Q() = P sen 30

31 P Rcos y x P P sen PR cos P cos π/ - Rcos Figura 3.38 Obsérvese que la curvatura de la barra hace que con cargas perpendiculares a la directriz aparezcan también esfuerzos axiles mientras que si la barra fuese de directriz rectilínea, cargas normales a la directriz producirían flectores y cortantes pero no axiles. Igualmente puede comprobarse que cuando actúan cargas en la dirección de la directriz, aparecen no solamente esfuerzos axiles sino, también, cortantes y flectores. En la figura 3.39 se incluyen las gráficas de las leyes de esfuerzos del arco anterior sometido a la carga P. 3

32 P M = PRcos P y R Q = P sen x P Momentos flectores N = P cos P R R Esfuerzos cortantes Esfuerzos axiles Figura 3.39 Para calcular los movimientos de una sección de una barra curva pueden utilizarse los teoremas de Mohr o el teorema de astigliano. En la figura 3.40 se muestra una barra de directriz circular y sometida a una carga en el extremo libre; se muestra, tambien la ley de momentos flectores correspondientes. continuación, se expone el proceso de cálculo de los movimientos horizontal, U, vertical, V y el giro,, del extremo de un arco empotrado, utilizando, a efectos comparativos, las dos herramientas citadas. 3

33 M= PRcos P U P V y R x Figura 3.40 Ley de momentos flectores a) Desplazamiento vertical V.- Utilizando los teoremas de Mohr El giro d de una rebanada genérica contribuye al desplazamiento vertical de con el producto d R cos (figura 3.4) d Rcos Figura 3.4 con lo cual ( V ) d = d Rcos = M R cos = PR cos cos La contribución de todas las rebanadas es: V π 0 PR coscos = Observación.- El elemento de la integral es Rd 33

34 Utilizando el teorema de astigliano Para utilizar este teorema se necesita un estado auxiliar consistente en una carga unidad en la dirección según la cual se quiere obtener el desplazamiento, que, en este caso, es la vertical. En la figura 3.4 se incluye la ley de momentos flectores producida por una carga vertical hacia abajo (estado auxiliar) Rcos Rcos Figura 3.4 Según el teorema de astigliano, el movimiento vertical se obtiene integrando a lo largo de la directriz de la barra el producto de las leyes de momentos flectores del esatdo real y la del estado auxiliar divididas por V = π 0 PRcos Rcos b) Movimiento horizontal U.- Utilizando los teoremas de Mohr El giro d de una rebanada genérica contribuye al desplazamiento vertical de con el producto d (R R sen ) (figura 3.43) 34

35 d R(- sen ) con lo cual Figura 3.43 ( U ) d = d R( sen ) = M R( sen ) = PR cos ( sen ) La contribución de todas las rebanadas es: U π 0 PR cos( sen ) = Observación.- El elemento de la integral es Rd Utilizando el teorema de astigliano Para utilizar este teorema se necesita un estado auxiliar consistente en una carga unidad en la dirección según la cual se quiere obtener el desplazamiento, que, en este caso, es la horizontal. En la figura 3.44 se incluye la ley de momentos flectores producida por una carga horizontal hacia la derecha (estado auxiliar) R(-sen) - R(- Sen ) Figura

36 Según el teorema de astigliano, el movimiento vertical se obtiene integrando a lo largo de la directriz de la barra el producto de las leyes de momentos flectores del estado real y la del estado auxiliar divididas por U π 0 PRcos R( sen ) = c) Giro del punto.- Utilizando los teoremas de Mohr El giro d de una rebanada produce un giro igual del punto (figura 3.45). d d Figura 3.45 con lo cual π π π = 0 d= 0 MdS = 0 PRcos Utilizando el teorema de astigliano Para utilizar este teorema se necesita, en este caso, un estado auxiliar consistente en un momento unidad aplicado en el punto en el se quiere obtener el giro. En la figura 3.46 se incluye la ley de momentos flectores producida por este momento. 36

37 M= Figura 3.46 Según el teorema de astigliano, el giro se obtiene integrando a lo largo de la directriz de la barra el producto de las leyes de momentos flectores del estado real y la del estado auxiliar divididas por 3.5 RGS TÉRMIS π PRcos = Deformación térmica de una rebanada Una acción externa muy frecuente sobre las estructuras es la variación térmica del ambiente que las rodea. Si la temperatura del ambiente varía respecto a la que tenía inicialmente el material cuando se fabricó el elemento estructural, este va a sufrir deformaciones debidas a los gradientes térmicos que puedan producirse. Sea, por ejemplo, el caso de una viga de sección rectangular de canto c sometida a un incremento de temperatura t en su fibra superior y un incremento t en su fibra inferior. La figura 3.47 representa una rebanada D de la viga, delimitada por las secciones E y FD y que se ha deformado hasta D. omo hipótesis de cálculo se considera una variación de la temperatura lineal según el canto. 37

38 d/ t d/ c E E F F t D D ds Figura 3.47 Siendo α el coeficiente de dilatación del material, el alargamiento de es y el alargamiento de D es + = α t +DD = α t y como = y =DD resulta = α t y, por lo tanto, DD = α t + DD t + t FF = = α con lo cual el alargamiento de la fibra EF o, lo que es lo mismo, el alargamiento de la rebanada, es t + t FF = α Por otro lado, el ángulo que forma la sección D con su deformada D es 38

39 t t α c con lo cual el ángulo entre las secciones de la rebanada deformada resulta d = α ( t t ) c 3.5. Vigas de directriz recta.- Para este tipo de vigas, sumarizando (integrando) los alargamientos de las rebanadas se obtiene el alargamiento total de la barra sumarizando (integrando) los giros de las rebanadas se obtiene el giro entre secciones extremas de barra el giro de cada rebanada contribuye al movimiento de un punto EJEMPLO.- En la estructura de la figura 3.48 las barras y D tiene una sección rectangular con 50 cm de canto siendo ambas de m de longitud; la estructura está sometida al incremento térmico que se describe en la figura. Siendo el coeficiente de dilatación térmica del material α= *0-6 º - se pide calcular el desplazamiento horizontal del punto D. 00º 00º 0º 80º 45º D cant Figura 3.48 ontribución de la barra al movimiento horizontal de D: Por alargamiento de la barra t + t α = α t = m Por giro de la secciones: no hay giro en ninguna de la secciones 39

40 ontribución de la barra D al movimiento horizontal de D: Por alargamiento de la barra D t + t D α cos 45 = * 0 cos 45 = m Por giro de las secciones El giro de cada rebanada de la barra produce un movimiento del punto D en dirección perpendicular a la barra y de valor sd, con lo cual D sdcos 45 = = m D α s ( t c t α )cos 45 = c ( t t s ) 0 cos 45 = Total: U D = = m EJEMPLO.- En la estructura anterior se impide el desplazamiento horizontal del punto D como se indica en la figura Se pide calcular la reacción en D sabiendo que el producto es 0 3 tm. 00º 00º 80º 0º D Figura 3.49 En el apoyo D aparece una reacción R cuando el punto D, como resultado del calentamiento, intenta moverse horizontalmente (figura 3.50). La actuación simultánea de la temperatura y de la reacción (desconocida) anulan el movimiento del punto D. 40

41 00º 00º 80º 0º D D R Figura 3.50 El desplazamiento horizontal de D es suma algebráica de los desplazamientos debidos a la temperatura y a la aplicación de la carga R (reacción). Para calcular este último se precisa la ley de momentos flectores (figura 3.5) Rcos45 Figura 3.5 partir de esta ley de momentos flectores y aplicando el º teorema generalizado de Mohr: D U 6R = ( Rcos 45 ) cos 45 ( Rcos 45 ) cos 45 R0. m D + = = omo el movimiento de U ha de ser nulo U D = R = 0 R = t arras de directriz curvilínea.- onsidérese el caso de la barra que se muestra en la figura 3.5 que tiene directriz curvilínea y sección constante, está empotrada en un extremo y es sometida a una variación de temperatura uniforme ( t = t = t) de la que se quiere obtener el valor del movimiento del punto en la dirección definida por un vector V. 4

42 ( t ) ( t) δ δ δ V Figura 3.5 El alargamiento de una rebanada genérica - debido al incremento de temperatura es δ = α t Este alargamiento da lugar a un movimiento, con el mismo valor, del extremo de la viga curvilínea en la dirección perpendicular a la rebanada. El movimiento de en la dirección definida por el vector V es, entonces, (U ) = (α t) cos Pero cos es la proyección de sobre la dirección definida por el vector V con lo cual al sumar las contribuciones al movimiento de de los alargamientos de todas las rebanadas se obtiene U = ( α t )cos = α t cos = α tl El movimiento en una dirección definida por un vector, del extremo de una barra curvilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura y por la proyección en la dirección V de la directriz de la viga (figura 3.53). ( t) ( t) P U P L 4

43 Figura 3.53 Esta propiedad se verifica incluso en el caso de que debido a las posibles incurvaciones de la barra, la proyección de dos rebanadas pudieran solaparse (figura 3.54). ( t) ( t) P L Figura

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