Capítulo 6. ESFUERZO CORTANTE


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Capítulo 6. ESFUERZO CORTANTE"

Transcripción

1 Roberto Imaz Gutiérrez. Este capítulo se publica bajo Licencia Creative Commons BY NC SA 3.0 Capítulo 6. ESFUERZO CORTANTE 6.1 NOCIONES PREVIAS Previamente a tratar de las tensiones y deformaciones, motivados en una viga, por el esfuerzo cortante, nos es necesario tratar dos cuestiones de la teoría de la elasticidad Recordamos la noción de tensión dada en el apartado 1.2, y consideremos un cubo elemental, aislado, idealmente, en el interior de un cuerpo en equilibrio, bajo la acción de un sistema de fuerzas cualesquiera. La tensión que actúa sobre una cara, ver figura 6.2, la descomponemos en su composición normal y las dos tangenciales, paralelas a los ejes coordenados. La tensión normal la designamos por la letra coordenado, a que es normal el plano sobre el que actúa, con un subíndice, que indica el eje, ; considerándola positiva cuando se trata de una tracción, y negativa si se trata de una compresión. 1

2 Entones tomando momentos respecto al eje OZ (o para mayor claridad respecto al eje que pasando por el centro del paralepipedo es paralelo a OZ) o igualando a cero obtendremos: (ver figura 6.2.b) (6.1) o sea (6.1 ) En la sección (6.1) se ha encerrado dentro de un paréntesis la fuerza que actúa sobre cada cara, por el valor de la tensión en el centro de esta. Igualando a cero, los momentos de las fuerzas de superficie, respecto a los ejes Oy y Ox, obtendríamos dos ecuaciones análogas a la (6.1 ). O sea agrupando las tres: (5.1 ) Vemos pues que el sistema de tensiones que actúa sobre los planos coordenados que pasan por un punto, está definido por las seis cantidades, las cuales reciben el nombre de componentes del tensor tensión en el punto considerado. Como veremos en la teoría de la Elasticidad, el conocimiento de estas componentes, nos permite calcular la tensión que actúa, sobre cualquier plano que pase por 0. Pero la consecuencia que ahora más nos interesa, sacada de las ecuaciones (6.1) es: Las componentes de las tensiones tangencia, normales a la arista intersección, de dos planos ortogonales son iguales en valor absoluto, y sus sentidos son tales, que ambas se dirigen hacia la arista, (figura 6.3.a) o se separan de ella (figura 6.3.b) 2

3 6.1.2 De lo acabado de exponer, podemos deducir una propiedad importante. Si sobre la sección recta de una viga, actúa un esfuerzo cortante T, La tensión cortante en un punto del contorno es tangente a este. En efecto si la tensión cortante en un punto A, del perímetro de la sección recta, admitiese una componente normal, existiría la misma, en la cara lateral de la viga; y como las caras laterales, normalmente, por hipótesis, debe ser necesariamente =0, o sea se confunde con, y es tangente, por tanto, en A a la curva que delimita a la sección recta (ver figura 6.4) Vamos a ver ahora, la relación que existe entre la tensión cortante, y la deformación angular producida por esta : Consideremos un paralepipedo de sección cuadrada ABCD, y altura unidad, actuando sobre sus caras laterales, una tensión cortante, exclusivamente (tal como muestra la figura 6.5.a). Esta tensión cortante, produce una deformación angular (figura 6.5.b). 3

4 Observemos, sobre la diagonal BD, que actúa un esfuerzo de tracción o sea una tensión. Igualmente sobre el plano diagonal AC actúa una tensión (presión) que vale. Si giramos pues, la figura (6.5.a) un ángulo de 45º obtendremos un estado tensional, tal como el que se indica en la figura 6.6, en la que se tiene; Si aislamos un elemento cuadrangular, tal como el ABCD de la figura 6.6, actuará sobre sus caras, según lo dicho más arriba, una tensión cortante exclusivamente. Tal estado tensional recibe el nombre de esfuerzo cortante simple. El acortamiento del elemento vertical Ob ó Od, es igual a los alargamientos de los elementos horizontales Oa y Oc, por lo que despreciando infiniésimos de segundo orden, deducimos que las longitudes ab, bc, cd, da, no cambian. El ángulo 4

5 formado por ab y cd, sin embargo cambia, y la magnitud de la deformación tangencial puede deducirse del estudio de la deformación del triángulo Oab. Después de deformarse abcd, se transforma en el a b c d y se verifica: (6.2). Sustituyendo por sus valores: Y habida cuenta de que para valores pequeños de es; La ecuación (6.2) se transforma en; de donde o como ; (6.3). Ecuación que relaciona con. Al coeficiente que multiplica a se lo suele designar por G: (6.4) Y se le denomina módulo de elasticidad tangencial. La ecuación (6.3) se escribe entonces más sencillamente 5

6 (6.3 ) Esta ley es semejante a la. Como es adimensional, vemos por (6.4) que G, que se llama también módulo de deslizamiento, tiene las mismas dimensiones que E, o sea,. Así por ejemplo para acero normal de construcción en que y (coeficiente poisson) resulta: Para el elemento cúbico de la figura 6.2.a a la fórmula (6.3 ) se escribe para la deformación tangencial según los planos coordenados y las ecuaciones 3.10 del apartado 3.1, que dan la deformación longitudinal, y que repetimos a continuación se completan con las que dan las deformaciones angulares. (6.4) Estas ecuaciones ligan las tensiones en un punto con las deformaciones que producen en ese mismo punto (es decir) el tensor tensión de componentes con el tensor de deformaciones de componentes. Estas ecuaciones son de transcendental importancia en la teoría de Elasticidad. 6

7 NOTA: Es importante advertir que todo lo dicho en los anteriores apartados y no es privativo de los cuerpos elásticos sino que puede aplicarse a cualquier material aunque este no sea elástico, ni siquiera homogéneo e isótropo. Sin embargo lo expuesto en el es sólo aplicable a los cuerpos elásticos, por estar fundamentado en la ley de Hooke. 6.2 FÓRMULA FUNDAMENTAL PARA EL CÁLCULO DE LAS TENSIONES CORTANTES. Consideremos una pieza prismática de sección uniforme cualquiera, y sometida a un momento flector variable contenido en uno de los planos principales de inercia de la sección. El momento flector variable motiva un esfuerzo cortante ya que. Como vimos en 4.7, esta solicitación, se denomina flexión simple. Aislemos de esta viga un elemento prismático por medio de dos secciones rectas S y S, distantes dx, y por una superficie cilíndrica de forma cualquiera pero de generatrices paralelas al eje de la viga. 7

8 En la sección S actúa el momento flector M y el esfuerzo cortante (+T). En la sección S actúan el momento M+dM y el esfuerzo cortante + (T+dT). Estudiemos el equilibrio del elemento prismático anteriormente definido y dibujado. Sobre su cara dorsal (situada sobre S) actúan unas tensiones normales, motivadas por M, cuya suma vale (en valor absoluto). S ) es; De igual forma la suma de las compresiones que actúan sobre la base frontal (situada sobre Este esfuerzo es más grande que el anterior, y por tanto la resultante de los dos es una fuerza dn dirigida hacia la derecha que vale: (6.5) Donde es el momento estático del área con relación al eje neutro sección. Como el elemento prismático considerado está en equilibrio, deberá existir necesariamente unas tensiones cortantes, que el trozo (2) ejerce sobre el (1), a través de su superficie cilíndrica de contacto, cuya resultante dr equilibran a dn. Como; es (6.6) En dónde es la tensión cortante media a lo largo de AB y l la longitud de esta curva. 8

9 Observemos que por lo dicho al final del apartado junto a las tensiones que aparecen en la superficie cilíndrica ABA B, parábolas al eje de la pieza, aparecerán otras, contenidas en el plano S, y cuya componente normal a la curva AB, será en cada punto, igual, en valor absoluto, a la correspondiente contenida en la superficie cilíndrica, y que ambas estarán dirigidas hacia la curva AB, o se separarán de ella, (ver figura 6.7.c). En este caso las dos tensiones tangenciales normales a AB, tienen sentidos que se separan de dicha curva. Esta última observación, es muy importante, pues la fórmula fundamental (6.6), nos permite hallar, por ser ambas iguales, tanto la tensión tangencial media, que actúa sobre la superficie ABA B, según sus generatrices, como la tensión media que se ejerce en la sección normal S, a lo largo de AB, y normal a esta curva. La misma citada observación, nos permite determinar, sin ambigüedad, el sentido de esta tensión cortante. En los apartados siguientes veremos algunas explicaciones prácticas, de cuanto acabamos de exponer.es fácil, poner de manifiesto, la existencia de estas tensiones cortantes. Para más sencillez supongamos una viga de sección rectangular, simplemente apoyada y cargada según indica la figura adjunta 6.7 a) 9

10 Consideremos una sección ideal AA, horizonal, que divide a la viga en dos porciones (1) y (2). Si cargamos la viga con una serie de fuerzas P1, P2 y P3, está se flectará (figura 6.7b) y a lo largo del plano AA, apareceran una serie de tensiones cortantes, que impiden que el trozo (1) desliza sobre el (2) tal como aparece en la figura. Las tensiones cortantes que se ejercen, a lo largo de AA sobre cada uno de los trozos (1) y (2) se indican en la figura c. En la figura d) se indican las tensiones normales y las tangenciales, que actúan sobre el elemento de viga a, b, a, b, que se indica en la figura 6.7.b) Es fácil ver, físicamente, es decir sin necesidad de reglas o convecciones de signos, el sentido de las tensiones. En efecto, siendo mayor el momento que actúa sobre la cara ab cortante que actúa sobre bb tendrá el sentido que se indica en la citada figura 6.7 Finalmente, por lo dicho en la figura 6.3, deducimos el sentido de las tensiones, cortantes sobre ab y a b. En cuanto al módulo de estas tensiones cortantes, por la fórmula 6.6 vemos; - Sobre la cara ab ó a b, las tensiones cortantes, crecen a manera que nos acercamos a la fibra neutra; ya que para una sección determinada, todos los factores que entran en la citada fórmula, son constantes, excepto que aumenta parabólicamente con la profundidad z. - Sobre bb, la tensión cortante se mantiene constante, ya que evidentemente los factores, I y l de la fórmula 6.6 se mantiene invariables; en cuanto a T, como, y M varía linealmente, será T=constante. Si la viga hubiese estado cargada con una carga uniformemente repartida (p.t/m.), la tensión cortante sobre bb, aumentaría, linealmente, de derecha a 10

11 izquierda, ya que M aumenta parabólicamente, y por tanto aumenta linealmente. (*) También serán mayores las tensiones normales, de compresión, sobre ab que sobre a b. Cuando se unen dos vigas, para evitar el deslizamiento de una sobre otra, y aumentar, en consecuencia su resistencia a flexión, se usan estas solidariamente por medio de cuñas o tornillos pasantes, señalados con los números 1 y 2 respectivamente en la figura 6.7 f. Examinemos, ahora, a continuación, varias aplicaciones de la fórmula fundamental 6.6, habida cuenta de las nociones previas expuestas en SECCIÓN RECTANGULAR Veamos como se reparten las tensiones tangenciales en una sección rectangular de ancho b, y h de canto. Por lo dicho en el apartado 6.1.1, y que se ilustra en la figura 6.4, las tensiones A y A deben estar dirigidas según el contorno. Lo mismo ocurre por simetría en el punto m de AA la tensión cortante es paralela al esfuerzo cortante T: 11

12 Por otra parte también admitiremos que la distribución de tensiones es uniforme a lo largo de AA. Habida cuenta de estas dos hipótesis, podemos calcular fácilmente el valor de la tensión cortante que actúa a una altura y, sobre la fibra neutra, mediante la fórmula (6.6). Aconsejamos que el alumna deduzca, para este caso, dicha fórmula directamente. Para ello establecerá el equilibrio del primas ABA B considerando las fuerzas normales que actúan sobre AB y A B y las tangenciales sobre AA. (todas ellas son horizontales). En este caso particular es:, l=b, y sustituyendo en 6.6 obtendremos; (6.7) Así pues, la distribución de tensiones tangenciales, a lo largo de una paralela al eje xy, es una parábola, tal como se indica en la figura 6.8 c). Las tensiones tangenciales máximas se producen en el eje y el valor común de aquella es: (6.8) El sentido de las tensiones tangenciales se ve fácilmente bien aislando el prisma ABA B, y viendo que sobre AA, las tensiones tangenciales van dirigidas de derecha a izquierda; bien deduciendo el sentido de T sobre la cara AB (será hacia arriba, si como en nuestro caso, M aumenta de derecha a izquierda). 12

13 NOTA: Los valores de, dados por las fórmulas (6.7) y (6.8), no son exactos, pero tienen una gran aproximación, siempre que la sección sea peraltada (h>b). La teoría más exacta de la Elasticidad, muestra que la tensión cortante, no es constante, a lo largo de todos los puntos del eje neutro (eje ), sino que alcanza sus valores máximos, en sus puntos extremos C y C (ver figura 6.8 b). fórmula (6.8). Los valores del coeficiente, por el que hay que multiplicar la tensión, dada por la 6.4 SECCIÓN SIMÉTRICA Consideremos una sección cualquiera, con un eje central de simetría, según el cual actúa el esfuerzo cortante T. La tensión cortante, en un punto cualquiera P, tiene dos componentes y paralelas al eje Oy y Oz respectivamente. Para la componente vertical se puede utilizar todo el rozamiento expuesto en 6.2, siendo por tanto aplicable la fórmula (6.6) que nos permite escribir: (6.6 ) En donde como sabemos l=2z representa el espesor de la sección al nivel y, y el momento estático, respecto a del área situada por encima de AA. variará pues como Me/l y normalmente será máximo en la fibra neutra, a no ser que l crezca más deprisa que (como ocurre en un triángulo isósceles). 13

14 Para obtener la componente horizontal de la tensión cortante procederemos como sigue; Las tensiones cortantes en los puntos A y A serán tangentes al contorno de la sección, cortándose sus direcciones, en el punto B del eje Oy. La dirección de la tensión cortante, en un punto P de la horizontal AA, la supondremos, tal que esté también dirigida hacia B. Se tiene así: (en el contorno) (6.9) 14

15 6.5 SECCIÓN CIRCULAR Como aplicación de lo acabado de exponer en el apartado anterior hallamos las tensiones tangenciales en una sección circular cuanto T actúa según un diámetro de la sección que tomamos por eje En este caso es: de donde sustituyendo en (a); (6.10) en donde (la distribución de a lo largo de Oy es pues parabólica) La tensión tangencial, en el contorno es o sea (6.11) El máximo de y es para x= 0 y su valor común excede en un 33% del valor de la tensión media. 15

16 Vemos también que la distribución de a lo largo del perímetro es una elipse (cuando viene en función de y). NOTA: El estudio riguroso (basándose en que el material es perfectamente elástico) muestra que las tensiones cortantes, no son iguales a lo largo del eje neutro (eje Oz); sino que el máximo lo alcanza en el centro y vale; Para (el valor que tiene para los aceros de construcción) es mientras la fórmula aproximada nos da. El error cometido pues al utilizar esta última es de 3,25%, error, que sin duda es superado por no ser el material perfectamente elástico, etc. 6.6 PERFILES LAMINADOS La repartición de, experimenta una fuerte discontinuidad al pasar del ala, al alma. Esta discontinuidad es debida, a la similar que experimenta 1 al pasar del valor b, al o, ya en la fórmula; permanece constante y es continua. 16

17 En las alas la tensión cortante vertical, es despreciable; y el alma, absorbe, prácticamente en su totalidad la totalidad del esfuerzo T. Entre B y B, se distribuye parabólicamente, con muy poca diferencia entre los valores mínimos (en B y B ) y el máximo en 0. En la práctica se toma para la tensión media en el alma definida por: (6.12) Que da una buenísima aproximación (1 al 5% por defecto) la tensión máxima en el alma. Además de las ínfimas, y por tanto despreciable, tensiones verticales que aparecen en las alas, existen otras horizontales, de apreciable cuantía que hay que tener en consideración, y que vamos a calcular. 17

18 Consideremos por ejemplo la sección bb, figura 6.12.a, siendo las tensiones en b y b, paralelas al borde, o sea horizontales, y siendo pequeño el espesor de las alas parece lógico admitir que las tensiones a lo largo de bb sean paralelas y uniformes (estas mismas dos hipótesis hicimos para la sección rectangular, pero por el pequeño espesor del ala, se cumplirán aquí, con mucha más aproximación. La tensión cortante vendrá dada por la fórmula general 6.6: Siendo el momento estático del área rayada aa bb respecto al eje Oz o sea Siendo T, I y e constantes, y variante, linealmente con S, variará también linealmente con ésta variable, y la representación del valor algebraico de las tensiones tangenciales, será la que figura en 6.12.a). 18

19 En cuanto al sentido, es fácil determinarlo, por la consideración que sigue: Supongamos que M es positivo y que aumenta según el signo positivo del eje Ox. Si aislamos un elemento tal como se indica en la figura 6.12.b), sobre la cara. En consecuencia, para establecer el equilibrio del elemento, considerado las tensiones tangentes tendrán el sentido que se indica en la figura. Por lo expuesto al final de (fig 6.3) es inmediato ver que el sentido de la tensión tangencial sobre la cara a a b b es el indicado según se indica en la fig 6.2b, la cara considerada es la frontal. Sobre la dorsal de la rebanada, apareceran, salvo un infinitesimo, las mismas tensiones en sentido contrario. El sentido de las tensiones cortantes sobre el alma será el que se indica en la fig y 6.12ª. 6.7 CASO EN QUE EL ESFUERZO CORTANTE NO ESTÁ CONTENIDO EN UNO DE LOS PLANOS PRINCIPALES DE INERCIA. 19

20 En la fórmula fundamental (6.6), deducida en 6.2, y en todas sus aplicaciones expuestas en los párrafos 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, hemos supuesto que el momento flector M, y por tanto T, estaba contenido en uno de los planos principales de inercia. Si no es así, y M actúa sobre un plano cualquiera mm, actuará sobre la traza de este plano (ver figura 6.14). Podemos entonces descomponer T en sus dos componentes y sobre los ejes coordenados (trazas de los planos principales de inercia sobre la sección). Entonces para cada uno de estos esfuerzos podremos aplicar la fórmula (6.6) o las (6.9), y en un punto cualquiera obtendremos una producido por y una Producido por, y la total será; (6.13) 6.8 TRABAJO DE DEFORMACIÓN Trabajo de las componentes verticales de las tensiones tangenciales. En una viga de sección rectangular, o en el alma de una viga doble T las tensiones cortantes se reducen a sus componentes verticales. Siendo estos los casos más corrientes interesa primero y principalmente calcular el trabajo de éstas componentes. 20

21 A lo largo de todo el rectángulo elemental aa bb la tensión tangencial, salvo un infinitésimo, se mantiene constante e igual a (a) (ver figura 6.14) 21

22 Siguiendo un razonamiento paralelo al seguido en el apartado 3.3, obtendríamos que el trabajo efectuado por las componentes que actúan sobre el rectángulo elemental, es el área del triángulo rayado en la figura 6.15, o sea; o teniendo en cuenta a); Y el trabajo efectuado por la deformación de la rebanada ABCD será; y el trabajo por unidad de longitud de viga Y sustituyendo por su valor; resulta (6.14) O finalmente; (6.14 ) Siendo (6.15) la llamada sección reducida. Si se hubiese calculado el trabajo de deformación, suponiendo que las tensiones tangenciales se repartiesen uniformemente por la sección, siendo entonces 22

23 hubiéramos llegado a la expresión, que sólo difiere de la (6.14 ) en que aparece en vez de. Cuando calculamos las tensiones, y por ende las deformaciones, por la fórmula más exacta, todo ocurre como si T se repartiese uniformemente sobre el área de la sección (ficticia) reducida dada por (6.15) Las secciones reducidas de un rectángulo y un círculo son respectivamente, y, proponiendo al alumno que, como ejercicio, compruebe estos resultados. Para una doble T la sección reducida es aproximadamente a la del alama, o con mayor aproximación aún; Siendo h el canto; el espesor de las alas. el espesor del alma En el caso de un perfil laminado, o sección tubular de pequeño espesor, siguiendo el mismo razonamiento que en el párrafo anterior (6.9.1) llegaríamos a la misma fórmula (6.14) 23

24 y sustituyendo d por. ds queda ; (6.16) o sea; (6.16 ) 24

Capítulo 4. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN SIMPLE

Capítulo 4. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN SIMPLE Roberto Imaz Gutiérrez. Este capítulo se publica bajo Licencia Creative Commons BY NC SA 3.0 Capítulo 4. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN SIMPLE 4.1 GENERALIDADES Se dice que una pieza está sometida a flexión pura

Más detalles

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N)

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 1. Definición de Viga de alma llena TEORÍA TEMA 9 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 3. Determinación de los esfuerzos característicos i. Concepto de Polígonos de Presiones ii. Caso

Más detalles

5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión. Puente grúa. 5.3.1 Flexión pura

5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión. Puente grúa. 5.3.1 Flexión pura 5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión Puente grúa 5.3.1 Flexión pura Para cierta disposición de cargas, algunos tramos de los elementos que las soportan están sometidos exclusivamente a

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

TEMA VI: Cálculo de recipientes de pared delgada

TEMA VI: Cálculo de recipientes de pared delgada TEMA VI: Cálculo de recipientes de pared delgada 1. Introducción. Envolventes de pequeño espesor Podemos definir una envolvente como aquel sólido elástico en el que una de sus dimensiones es mucha menor

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

INTERACCIÓN DE UNA CIMENTACIÓN PROFUNDA CON LA ESTRUCTURA

INTERACCIÓN DE UNA CIMENTACIÓN PROFUNDA CON LA ESTRUCTURA INTERACCIÓN DE UNA CIMENTACIÓN PROFUNDA CON LA ESTRUCTURA Fernando MUZÁS LABAD, Doctor Ingeniero de Caminos Canales y Puertos Profesor Titular de Mecánica del Suelo ETSAM RESUMEN En el presente artículo

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Leyes de esfuerzos y funciones de desplazamiento a lo largo de una barra

Leyes de esfuerzos y funciones de desplazamiento a lo largo de una barra Lees de esfuerzos funciones de desplazamiento a lo largo de una barra Apellidos, nombre Basset Salom, Luisa (lbasset@mes.upv.es) Departamento Centro Mecánica de Medios Continuos Teoría de Estructuras Escuela

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

Capítulo 4. Elasticidad

Capítulo 4. Elasticidad Capítulo 4 Elasticidad 1 Ley de Hooke Cuando estiramos o comprimimos un muelle, la fuerza recuperadora es directamente proporcional al cambio de longitud x respecto de la posición de equilibrio: F = k

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Resistencia de Materiales

Resistencia de Materiales Tema 5 - Deflexión en Vigas Resistencia de Materiales Tema 5 Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica Ecuación diferencial de la elástica Para comenzar este tema se debe recordar

Más detalles

Unidad I: Algebra de vectores

Unidad I: Algebra de vectores Unidad I: Algebra de vectores 1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica Ejemplo: El segmento dirigido, donde P(2,3) y Q(5,10), es equivalente al Vector, donde las componentes

Más detalles

- A3, Bl - B2 -B3, Cl - C2.

- A3, Bl - B2 -B3, Cl - C2. UNVERSDADES PUBLCAS DE LA COMUNDAD DE MADRD PRUEBASDEACCESOA ESTUDOSUNVERSTAROS(LOGSE) Curso2007-2008 MATERA: DBUJO TÉCNCO 11 NSTRUCCONES GENERALES La prueba consiste en la realización de cinco ejercicios

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS

TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1. CONCEPTO DE TRABAJO: A) Trabajo de una fuerza constante Todos sabemos que cuesta trabajo tirar de un sofá pesado, levantar una pila de libros

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

Tema 6. ELASTICIDAD.

Tema 6. ELASTICIDAD. Tema 6. LASTICIDAD. 6. Introducción. 6.2 sfuero normal. 6.3 Deformación unitaria longitudinal. 6.4 Le de Hooke. 6.5 Deformación por tracción o compresión. Módulo de Young. 6.6 Coeficiente de Poisson. 6.7

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13

TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 TRABAJO Y ENERGÍA Página 1 de 13 EJERCICIOS DE TRABAJO Y ENERGÍA RESUELTOS: Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m. La fuerza necesaria

Más detalles

LINEAS DE INFLUENCIA

LINEAS DE INFLUENCIA LINEAS DE INFLUENCIA Recopilación Ing. Ramiro Piatti Ayudante Ad-Honorem 1. INTRODUCCION 1.1. OBJETO Este apunte tienen por finalidad presentar el tema líneas de influencias buscando lograr un enfoque

Más detalles

REPRESENTACIÓN DEL ESTADO TENSIONAL DE UN SÓLIDO. CÍRCULOS DE MOHR

REPRESENTACIÓN DEL ESTADO TENSIONAL DE UN SÓLIDO. CÍRCULOS DE MOHR REPRESENTACIÓN DEL ESTADO TENSIONAL DE UN SÓLIDO. CÍRCULOS DE MOHR Los círculos de Mohr son un método para representar gráficamente el estado tensional que padece un punto de un sólido en un instante determinado.

Más detalles

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que?. No siempre será posible. El vector a

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Escuela Superior Tepeji del Río

Escuela Superior Tepeji del Río Escuela Superior Tepeji del Río Área Académica: Ingenieria Industrial Asignatura: Resistencia de los Materiales Profesor(a):Miguel Ángel Hernández Garduño Periodo: Julio- Diciembre 2011 Asignatura: Resistencia

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 MATERIA: DIBUJO TÉCNICO Junio Septiembre R1 R2 INSTRUCCIONES GENERALES La prueba consiste

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Fuerza Cortante y Momento Flector

Fuerza Cortante y Momento Flector TEMA VI Fuerza Cortante y Momento Flector Mecánica Racional 10 Profesora: Nayive Jaramillo S. Contenido Vigas. Pórticos. Fuerza Cortante (V). Momento Flector (M). Convenio de signos. Diagramas de fuerza

Más detalles

Unidad didáctica 1. Normalización. Formatos de papel, márgenes, cuadro de rotulación, unidades de medida, escalas y acotación.

Unidad didáctica 1. Normalización. Formatos de papel, márgenes, cuadro de rotulación, unidades de medida, escalas y acotación. Unidad didáctica 1. Normalización. Formatos de papel, márgenes, cuadro de rotulación, unidades de medida, escalas y acotación. 1.1 Tamaños normalizados de papel El interés para normalizar el tamaño del

Más detalles

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física ESTATICA Es la parte de la física que estudia las fuerzas en equilibrio. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o actúan varias fuerzas cuya resultante es cero, decimos que el cuerpo está en equilibrio.

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Concepto clave: 1. Razones trigonométricas Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es, entonces: sen longitud del cateto opuesto al A

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

**********************************************************************

********************************************************************** 1..- a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está compuesta por dos tablones dispuestos como se indica en la figura (se trata de hallar a). Tensión admisible de la madera: σ adm, tracción = 50

Más detalles

Resolución de problemas. Temas: VOR e ILS

Resolución de problemas. Temas: VOR e ILS Resolución de problemas. Temas: VOR e ILS Autor: Mario E. Casado García 3er Curso ITT ST Índice 1. Problema tema 5: VOR......3 2. Problema tema 7: ILS.....7 3. Referencias..12 2 1. Problema tema 5: VOR

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR. IRAM IAS U500-102 Productos de acero. Método de ensayo de tracción. Condiciones generales.

ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR. IRAM IAS U500-102 Productos de acero. Método de ensayo de tracción. Condiciones generales. ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR Anexa a la Facultad de Ingeniería Química UNIVERSIDAD NACIONAL DEL LITORAL Tema: RESISTENCIA DE MATERIALES Ensayo: Tracción estática de metales Normas consultadas: IRAM IAS

Más detalles

1.1 Probetas de sección cuadrada

1.1 Probetas de sección cuadrada ANEXOS En este apartado se muestran todas las gráficas de todos los ensayos realizados en cada uno de los planos. 1.1 Probetas de sección cuadrada Con este tipo de ensayos se pretende estudiar si los resultados

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción Índice general 1. Vectores en el plano 2 1.1. Introducción.................................... 2 1.2. Qué es un vector?................................ 3 1.2.1. Dirección y sentido............................

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 1. Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de cuando se encuentra en. Esta partícula se encuentra sometida a una fuerza que varia con la posición del modo indicado

Más detalles

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

3.1. Introducción. Capítulo 3. Líneas de Influencia

3.1. Introducción. Capítulo 3. Líneas de Influencia Para el diseño de puentes, las cargas móviles del trafico vehicular generan fuerzas que varían constantemente, las cuales se pueden describir mejor usando líneas de Influencia 3.1. Introducción. Muchas

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

CONFERENCIA SOBRE MUROS DE CONTENCIÓN. ANTONIO BLANCO BLASCO

CONFERENCIA SOBRE MUROS DE CONTENCIÓN. ANTONIO BLANCO BLASCO CONFERENCIA SOBRE MUROS DE CONTENCIÓN. ANTONIO BLANCO BLASCO LOS MUROS DE CONTENCIÓN SON ELEMENTOS QUE SE USAN PARA CONTENER TIERRA, AGUA, GRANOS Y DIFERENTES MINERALES, CUANDO HAY DESNIVELES QUE CUBRIR.

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

Introducción al dibujo técnico.

Introducción al dibujo técnico. INTRODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO. 1/10 Introducción al dibujo técnico. Introducción. Mientras que el dibujo artístico intenta transmitir emociones, el dibujo técnico pretende transmitir información técnica

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

CAPÍTULO 2 CO CEPTOS DE RESISTE CIA DE MATERIALES

CAPÍTULO 2 CO CEPTOS DE RESISTE CIA DE MATERIALES CAPÍULO 2 CO CEPO DE REIE CIA DE MAERIALE 2.1 I RODUCCIÓ En este capítulo se presenta una revisión de los aspectos más pertinentes para el curso de Diseño I de la teoría de resistencia de materiales. e

Más detalles

d s = 2 Experimento 3

d s = 2 Experimento 3 Experimento 3 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Objetivos 1. Establecer la relación entre la posición y la velocidad de un cuerpo en movimiento 2. Calcular la velocidad como el cambio de posición

Más detalles

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMAS DE PROYECCIÓN

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMAS DE PROYECCIÓN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos. La Geometría

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

ENSAYOS MECÁNICOS II: TRACCIÓN

ENSAYOS MECÁNICOS II: TRACCIÓN 1. INTRODUCCIÓN. El ensayo a tracción es la forma básica de obtener información sobre el comportamiento mecánico de los materiales. Mediante una máquina de ensayos se deforma una muestra o probeta del

Más detalles

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO)

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) Son dos instrumentos de plástico transparente que se suelen usar de forma conjunta. La escuadra tiene forma de triángulo

Más detalles

Geometría Tridimensional

Geometría Tridimensional Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,

Más detalles

1.- Resistencia de Materiales

1.- Resistencia de Materiales XI 1 MECÁNICA TÉCNICA TEMA XI 1.- Resistencia de Materiales La asignatura Mecánica Técnica la podemos dividir en dos partes. La primera, desde el tema I al tema X del programa, forma parte de lo que tradicionalmente

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular

Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular J. Alcalá * V. Yepes Enero 2014 Índice 1. Introducción 2 2. Descripción del problema 2 2.1. Definición geométrica........................

Más detalles

1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica

1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica 1 CONCEPTOS DE FISICA MECANICA Introducción La parte de la física mecánica se puede dividir en tres grandes ramas de acuerdo a lo que estudia cada una de ellas. Así, podemos clasificarlas según lo siguiente:

Más detalles

CÁLCULOS MECÁNICOS DE LAS ESTRUCTURAS SOPORTES DE ANTENAS

CÁLCULOS MECÁNICOS DE LAS ESTRUCTURAS SOPORTES DE ANTENAS CÁLCULOS MECÁNICOS DE LAS ESTRUCTURAS SOPORTES DE ANTENAS SISTEMA TERRENAL Normas generales Las antenas para la captación de las señales terrenales se montarán sobre mástil o torreta, bien arriostradas

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones. Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula:

Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones. Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula: Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula: 1- Reacciones: En primer lugar determinamos el valor de las

Más detalles

3.- CONCEPTOS BÁSICOS

3.- CONCEPTOS BÁSICOS 3.- ONEPTOS ÁSIOS 3. ESFUERZOS EN RRS: ONVENIO DE SIGNOS Los esfuerzos en los elementos estructurales lineales deberán seguir el convenio de signos que se esquematiza a continuación. Los esfuerzos que

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.

A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema. ísica EL PLANO INCLINADO Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal. Vamos a suponer que tenemos

Más detalles

Inversión en el plano

Inversión en el plano Inversión en el plano Radio de la circunferencia x 2 + y 2 + Ax + By + D = 0 Circunferencia de centro (a, b) y radio r: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Comparando: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 con x

Más detalles

MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler.

MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler. MECANICA CLASICA Segundo cuatrimestre de 2007. Cinemática y dinámica del cuerpo rígido, ángulos de Euler, Ecuaciones de Euler. Problema 1: Analizar los siguientes puntos. a) Mostrar que la velocidad angular

Más detalles

A RG. Giro de un punto A respecto del eje vertical, e. Giro de un punto A respecto del eje de punta, e.

A RG. Giro de un punto A respecto del eje vertical, e. Giro de un punto A respecto del eje de punta, e. Giro de un punto A respecto del eje vertical, e. A''' A''' 2 e A'' 60 El giro es otro de los procedimietos utilizados en diédrico para resolver construcciones. Aquí vamos a ver solo uno de sus aspectos:

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5.

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. Elementos de un vector. 6. Concepto de origen de un vector. 7.

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

1. Propiedades de la Presión Hidrostática.

1. Propiedades de la Presión Hidrostática. Tema. Hidrostática. ropiedades de la resión Hidrostática.. Ecuación fundamental de la Hidrostática.. resión Hidrostática en los líquidos. Ecuación de equilibrio de los líquidos pesados. ota pieométrica.

Más detalles

Trabajo, Energía y Potencial

Trabajo, Energía y Potencial Cátedra de Física Experimental II Física III Trabajo, Energía y Potencial Prof. Dr. Victor H. Rios 2015 METAS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: A calcular la energía potencial

Más detalles